<t->
          Matemtica
          7 Ano 
          Ensino Fundamental

          Edwaldo Bianchini          

          Impresso Braille em 8 partes, 
          na diagramao de 28 linhas por 
          34 caracteres, 6 edio, da 
          Editora Moderna 2006.

          Terceira Parte

          Ministrio da Educao
          Instituto Benjamin Constant
          Diviso de Imprensa 
          Braille
          Av. Pasteur, 350-368 -- Urca
          22290-240 Rio de Janeiro
          RJ -- Brasil
          Tel.: (21) 3478-4400
          Fax: (21) 3478-4444
          E-mail: ~,ibc@ibc.gov.br~,
          ~,http:www.ibc.gov.br~,
          -- 2012 --
<P>
          Matemtica (Ensino 
          Fundamental) 7 ano 
          (C) Edwaldo Bianchini 2006 

          Coordenao editorial: 
          Juliane Matsubara Barroso

          Edio de texto: 
          Dario Martins de Oliveira, 
          Maria Ceclia da Silva 
          Veridiano, Maria 
          Tereza Galluzzi, William Raphael Silva

          Assistncia Editorial:
          Ktia Takahashi, Maria Ceclia Bittencourt Mastrorosa

          Todos os direitos reservados 
          EDITORA MODERNA LTDA.
          Rua Padre Adelino, 758 -- 
          Belenzinho
          So Paulo -- SP -- Brasil
          CEP 01326-010 
          Tel.: (11) 2602-5510
          Fax: (11) 2790-1501
          ~,www.moderna.com.br~,
<P>
                               I
 Sumrio

Terceira Parte

 CAPTULO 3 -- ngulos
 1. ngulos e seus
  elementos ::::::::::::::::: 225
 2. Medida de um ngulo :::: 226
 3. Classificao de um 
  ngulo :::::::::::::::::::: 229
 4. ngulos congruentes :::: 239
 Construo de ngulos 
  congruentes ::::::::::::::: 240
 5. Operaes com medidas 
  de ngulos :::::::::::::::: 243
 Transformando unidades ::::: 243
 Adio e subtrao de 
  medidas de ngulos :::::::: 244
 Multiplicao e diviso da
  medida de um ngulo por 
  um nmero natural ::::::::: 249
 6. Bissetriz de um 
  ngulo :::::::::::::::::::: 254
 Construo da bissetriz de 
  um ngulo ::::::::::::::::: 255
<P>
 CAPTULO 4 -- Equaes
 1. Um pouco de
  histria :::::::::::::::::: 262
 2. Expresses 
  algbricas :::::::::::::::: 265
 3. Valor numrico de uma 
  expresso algbrica ::::::: 274
 4. Termos algbricos :::::: 279
 Termos semelhantes ::::::::: 282
 Simplificao de expresses 
  algbricas e reduo de 
  termos semelhantes :::::::: 283
 5. Sentenas 
  matemticas ::::::::::::::: 289
 6. As equaes :::::::::::: 290
 Raiz de uma equao :::::::: 293
 Conjunto universo e soluo
  de uma equao :::::::::::: 296
 7. Equaes do 1 grau 
  com uma incgnita ::::::::: 300
 Equaes equivalentes :::::: 301
 8. Resoluo de 
  equaes :::::::::::::::::: 305
 Equacionando problemas ::::: 313
 As equaes e a propriedade 
  distributiva :::::::::::::: 327
<P>
                            III
 Trabalhando equaes que 
  contm fraes :::::::::::: 333

 Para saber mais
 Mdia e estimativas :::::::: 323
 A Matemtica na 
  Histria ::::::::::::::::: 341
<P>
<81>
<tmatemtica 7 ano>
<t+225>
CAPTULO 3 -- ngulos

1. ngulos e seus elementos

  O dia-a-dia est repleto de situaes em que h a ideia de ngulo:
quando dobramos uma esquina, quando montamos uma tbua de
passar roupas, quando olhamos as horas em um relgio de ponteiros
ou quando observamos a inclinao do telhado de uma casa.
  Nas fotos a seguir, os destaques do ideia de ngulo.

<R+>
 _`[{duas fotos_`]
 Legenda 1: Cruzamento de vias pblicas na cidade de So 
  Paulo. (Foto de 2004.)
 Legenda 2: Vista da lateral do Teatro Amazonas, na cidade de Manaus. (Foto de 2007.)
<R->

<82>
  Voc j viu que ngulo  a figura geomtrica formada por
duas semirretas de mesma origem.

<F->
   
 B o
     
      
       
        o::::::::o::
        O        A
<F+>   

  Na figura acima, temos a representao do ngulo :?{a{o{b* ou :?{b{o{a* 
em que o vrtice  o ponto O e as semirretas :,?{o{a* e :,?{o{b* so os lados.

2. Medida de um ngulo

  Sabemos que um ngulo pode ser medido e que a unidade de medida de ngulos  o grau,
representado pelo smbolo **.
  Observe a representao de um ngulo de meia-volta:

<F->
:::o::::o::::o:::o
    A    O    B
<F+>
 
:?{a{o{b*

  O ngulo :?{a{o{b*, anterior, que representa um ngulo de meia-volta,  formado pelas semirretas
opostas :,?{o{a* e :,?{o{b*.
  Dizemos que o ngulo :?{a{o{b*  um ngulo raso; sua medida  igual a 180. 
Se dividirmos um ngulo de medida igual a 180 em 180 ngulos menores de 
mesma medida, cada ngulo obtido ter medida igual a 1.
  Tambm vimos que o transferidor pode ser usado para medir ngulos e que ele est dividido
em medidas iguais a 1.

<R+>
 _`[{duas imagens_`]
 Legenda 1: Transferidor dividido em 180 partes iguais. Representa um ngulo de meia-
  -volta 180.
 Legenda 2: Transferidor dividido em 360 partes iguais. Representa um ngulo de uma volta inteira 360.
<R->

<83>
<P>
  Vamos relembrar como proceder para medir ngulos usando um transferidor:

<R+>
_`[{na figura, o transferidor no foi adaptado. Apenas as semirretas foram representadas_`]

<F->
         
        oB       
        
      
     
    
   
  j:::::::::::o:
 O           A
<F+>

 1) O centro do transferidor deve coincidir com o vrtice do ngulo.
 2) Uma das semirretas (na figura :,?{o{a*) que formam o ngulo deve 
ficar alinhada com o ponto central e com a indicao do ngulo de 0 do transferidor.
<P>
 3) A outra semirreta (na figura :,?{o{b*) estar sob a marca do ngulo a ser medido no transferidor.
<R->
  A medida do ngulo :?{b{o{a*  60, que indicamos da seguinte maneira: m:?{a{o{b*=60.
  Os submltiplos do grau so o minuto e o segundo. Indicamos 1 minuto por 1 e 1 segundo por 1.
  Veja a relao entre o grau e seus submltiplos:
<R+>
  1=60, ou seja, 1=160 (1 minuto  igual a 160 do grau)
  1=60, ou seja, 1=160 (1 segundo  igual a 160 do minuto)

3. Classificao de um ngulo
<R->

  Um ngulo pode ser classificado quanto  sua medida em reto, agudo ou obtuso.
<P>
ngulo reto 

<F->
  l
Bo
  l
  l
  l
  l_-
  h:::::::::::o:
 O           A
<F+>

  O ngulo :?{a{o{b*  chamado de reto porque sua medida  igual a 90.

ngulo agudo 

<F->
        
     Do       
       
     
    
   
  
 j:::::::::::o:
 O          A
<F+>

<P>
  O ngulo :?{a{o{d*  chamado de agudo porque sua medida est entre
0 e 90 (menor que um ngulo reto).

ngulo obtuso

<F->
   
C o
     
      
       
        
         
          h:::::::::::o:
          O          A
<F+>

  O ngulo :?{a{o{c*  chamado de obtuso porque sua medida  maior que 90.

<84>
<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

1- Nesta figura, podemos observar trs ngulos.

<F->
                         B ~^
                        o
                    ~^
                ~^ 
            ~^
::o:::::o::::::::::::::::o:o
   C     O                A
<F+>

 a) Quais so esses ngulos?
 b) Qual deles  ngulo raso?
 c) Qual deles  ngulo reto? Qual  obtuso? E qual  agudo?

_`[{para as atividades de 2 a 7, pea orientao ao professor_`]

 2- Com um transferidor, determine a medida de cada ngulo e, em
<P>
  seguida, classifique-o em reto, agudo ou obtuso.
 a) 
<F->
               A ~^
              o
          ~^
      ~^ 
  ~^
o::::::::::::::::o:o
O                B
<F+>

b)
<F->
            
 Bo       oD
          
         
        
       o
       C
<F+>
<P>
c)
<F-> 
                 C ~^
                o
            ~^
        ~^ 
    ~^
 Mo
    
     
      
        
      Ao
         
          
      
d)
<F->
                
               oR
              
             
            
::o:::::::o
  T       S
<F+>

 3- O ngulo segundo o qual uma pessoa v um objeto  chamado de ngulo visual. Esse ngulo
depende do tamanho do objeto e de sua distncia em relao ao observador.

_`[{dois desenhos no adaptados, seguidos de legenda_`]
 Legenda 1: ngulo visual (objeto {a{b)
 Legenda 2: Dado um objeto, quanto maior for a distncia do 
observador a esse objeto, menor ser o ngulo visual.

 O ngulo visual pode ser um ngulo raso? Justifique sua resposta.

 4- Segundo a Associao Brasileira de Normas Tcnicas (ABNT), os cinemas precisam reservar
lugares para usurios de cadeira de rodas de acordo com as regras a seguir:
 Pessoas em Cadeira de Rodas (PCR) precisam de previso de espaos onde possam estacionar
convenientemente e acompanhar com conforto os eventos do auditrio. Para tanto, os espaos
devem atender  seguinte regra:
 Estar dispostos em lugares que respeitem o ngulo visual mximo de 30 a partir do limite superior
da tela ou palco at a linha do horizonte visual (1,15 m do piso). Caso haja anteparo, sua localizao
e altura no devem impedir o ngulo visual citado.

Fonte: NBR 9050 ABNT.

<85>
 a) Entre as situaes ilustradas a seguir, qual delas est de acordo
com essa regra? Justifique sua resposta.

_`[{figura: trs pessoas cadeirantes sentadas, em frente a um palco_`]

 b) Alm da regra citada, h outras que os cinemas precisam seguir para facilitar o acesso
de pessoas em cadeira de rodas, como a instalao de rampas e a garantia de rotas acessveis
vinculadas a rotas de fuga. Converse com os colegas de classe sobre o que mais 
importante haver nos cinemas para facilitar o acesso dessas pessoas.
 c) Voc costuma ir ao cinema? Em caso afirmativo, observe se o cinema respeita essas regras.
Depois, escreva um texto com suas observaes.

 5- Trace uma reta, em seu caderno, e marque sobre ela dois pontos distintos, A e B. Construa
um ngulo de 42 com vrtice em A, com um dos lados sendo a semirreta :,?{a{b*. Construa
outro ngulo de 42 com vrtice em B, com um dos lados sendo a semirreta :,?{b{a*, de modo
que obtenha um polgono.
 a) Que polgono voc obteve?
 b) Como  classificado esse polgono quanto aos lados?

 6- Vitria est participando de uma brincadeira de caa ao tesouro e recebeu o seguinte
mapa: _`[{no adaptado_`]
 Sabendo que os lados de cada quadradinho da malha representam 1 m, descreva o caminho
que Vitria dever seguir para encontrar o tesouro.
 7- Crie um mapa indicando uma trajetria como a do exerccio 6 e represente-a em uma folha
de papel quadriculado. Rena-se com um colega e, sem que ele veja o mapa criado por voc,
descreva-o para que ele represente seu mapa em uma folha de papel quadriculado. Em
seguida, faa o mesmo com o mapa criado pelo seu colega. Comparem as representaes
e vejam se h diferena entre elas. Caso haja, por que vocs acham que elas ocorreram?
Justifiquem a resposta no caderno.

<86>
<P>
4. ngulos congruentes
<R->

  Observe estes ngulos:

<F->
              B ~^
              o
          ~^
      ~^ 
  ~^
o::::::::::::::::o:o
O                A

m:?{a{o{b*=30

            
 Ro       oT
          
         
        
       o
       S

m:?{r{s{t*=30
<F+>

  :?{a{o{b* e :?{r{s{t* tm a mesma medida. Eles so ngulos congruentes. Indicamos que :?{a{o{b* e :?{r{s{t*
so ngulos congruentes da seguinte maneira:
  :?{a{o{b*==:?{r{s{t* (lemos: "o ngulo :?{a{o{b*  congruente ao ngulo :?{r{s{t*") 

  Dois ngulos so congruentes quando tm mesma medida.

Construo de ngulos congruentes

  Dado um ngulo :?{a{o{b*,  possvel construir, com auxlio de rgua e compasso, um ngulo :?{d{e{f*
de modo que :?{d{e{f* seja congruente a :?{a{o{b*, isto , :?{d{e{f*==:?{a{o{b*.
  Acompanhe a construo do ngulo :?{d{e{f*.

<F->
o::::::::::::::::o
E
<F+>

  Traamos uma semirreta de origem E.
  Colocamos a ponta-seca do compasso em E e, com uma abertura de
medida {o{a, traamos um arco que encontra essa semirreta no ponto D.
  Colocamos a ponta-seca do compasso em D e, com uma abertura 
de medida {a{b, marcamos F no arco traado.

<F->
              F ~^
              o
          ~^
      ~^ 
  ~^
o::::::::::::::::o:o
E                D
<F+>

  Traamos a semirreta :,?{e{f*. Est construdo o ngulo :?{d{e{f*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

  O ponto F foi marcado de modo que a abertura de medida {d{f fosse igual  abertura de
medida {a{b. Logo, os ngulos tm a mesma abertura e, portanto, so congruentes.

<87>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

_`[{para as atividade de 8 a 11, pea orientao ao professor_`]

 8- Observe os ngulos construdos na malha
triangular. O que se pode dizer a respeito desses ngulos?

_`[{figuras no adaptadas_`]

 9- Descubra e registre em seu caderno quais
so os pares de ngulos congruentes.

_`[{trs pares de ngulos no adaptados_`]

 10- Nesta figura, _`[{no adaptada_`] o ngulo :?{a{o{b* est dividido
em seis ngulos congruentes. Nessas condies, 
<P>
  quais das sentenas so verdadeiras?
 a) :?{b{o{c*==:?{c{o{d*
 b) :?{b{o{d*==:?{d{o{f*
 c) :?{c{o{e*==:?{a{o{f*
 d) :?{c{o{d*==:?{e{o{g*
 e) :?{c{o{a*==:?{b{o{g*
 f) :?{d{o{f*==:?{a{o{e*

 11- Construa em seu caderno um ngulo congruente
ao ngulo dado em cada caso.

_`[{trs ngulos no adaptados_`]

<88>
5. Operaes com medidas de
  ngulos

 Transformando unidades
<R->

  Nas operaes com medidas de ngulos,  possvel aparecerem resultados que contenham
minutos ou segundos em nmero maior que 60. Nesses casos, devemos transformar minutos
em graus ou segundos em minutos, dessa forma: agrupamos cada 60 unidades e trocamos
por 1 unidade imediatamente superior. Observe os exemplos a seguir.
<R+>
 a) Expressar 5 20 em minutos.

5 20=5"60+20=300+20=
  =320

 b) Fazer a transformao de 150 em graus e minutos.

 150=2"60+30=2+30=
  =2 30
 15060=2 resto 30

 c) Expressar 80 em minutos e segundos.

 80=1"60+20=1+20=
  =1 20

Adio e subtrao de medidas de ngulos
<R->

  A adio e a subtrao de medidas de ngulos  feita, respectivamente, somando ou subtraindo
segundos com segundos, minutos com minutos e graus com graus. Veja:

<R+>
Exemplo 1

 38 20+51 40=89 60
  60=1
 89+1=90

Exemplo 2

 90-40 20 45
 90=89 60=89 59 60
 89 59 60-40 20 45=
  =49 39 15
<R->

  Usando rgua e compasso, podemos construir um ngulo cuja medida seja a soma das
medidas de dois ngulos ou um ngulo cuja medida seja a diferena entre as medidas de dois
ngulos. Acompanhe os exemplos:
<R+>
  Dados os ngulos :?{a{o{b* e :?{c{o{d*, vamos construir, com 
<P>
  rgua e compasso, o ngulo 
:?{e{o{f* de medida m:?{e{o{f*=m:?{a{o{b*+
  +m:?{c{o{d*.
<R->

<F->
          {b ~^
        ~o   
    ~^
 ~j:::::::o:::
 {o       {a

         
       
   {d o
     
    
 O_!::::::::::o::::
               {c
<F+>

<89>
  Construmos um ngulo congruente ao ngulo :?{a{o{b*. 
  Sobre a semirreta :,?{o{g, construmos um ngulo congruente 
<P>
ao ngulo :?{c{o{d*, obtendo o ngulo :?{e{o{f*.

<F->
         
       
   {f o
     
    
 O_!::::::::::o::::
    ^~       {g
        ^~
            ^o
             {e ^~  
<F+>

<R+>
  Dados os ngulos :?{g{o{h* e :?{i{o{j*, vamos construir, com rgua e compasso, o ngulo :?{k{o{l* de
medida m:?{g{o{h*=m:?{i{o{j*-
  -m:?{k{o{l*.
<R->

<F->
         {h ~^
        o   
    ~^    
 ~w:::::::::o:
{o          {g

<P>
          {j ~^
         o   
     ~^    
{o~w            
     ^~       
         ^o
          {i ^~
<F+>

  Construmos um ngulo congruente ao ngulo :?{i{o{j*. 
  Sobre a semirreta :,?{o{m*, construmos um ngulo congruente ao ngulo :?{g{o{h*, obtendo o ngulo :?{k{o{l*.

<F->
         {m ~^
        o   
    ~^    
 ~w:::::::::o:
{o  ^~     {l
        ^o
         {k ^~
<F+>

<P>
Multiplicao e diviso da medida
  de um ngulo por um nmero 
  natural

  A multiplicao e a diviso da medida de um ngulo por um nmero natural  feita multiplicando
ou dividindo, respectivamente, os segundos, os minutos e os graus pelo nmero natural.
Em seguida, reduzimos os segundos a minutos e os minutos a graus, quando necessrio.

<R+>
 Exemplo 1

 32 25"4=128 100
  100=1 40
 128+1 40=129 40

 Exemplo 2 

 27 22 84
  274=6 resto 3
  3=180
  180+22=202
<P>
 2024=50 resto 2  
  2=120
  120+8=128  
 1284=32 resto 0

 27 22 84=6 50 32 

<90>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 12- Transforme em minutos:
 a) 15 
 b) 10 35

 13- Estes quatro azulejos _`[{no adaptados_`] se ajustam perfeitamente.
 a) Quanto mede o ngulo por eles formado em torno do ponto O?
 b) Expresse em minutos a medida desse ngulo.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 14- A quantos segundos corresponde um ngulo
que tem por medida 2 10 30?
 15- Expresse 94 em graus e minutos.

 16- Calcule em seu caderno:
 a) 25 12+40 30
 b) 10 45 45+
  +20 20 45
 c) 50 40-20 35
 d) 45 20 25-
  -30 30 30

 17- Nesta figura, um esquadro tem o vrtice de
seu ngulo reto apoiado no ponto A e o ngulo
indicado com vermelho mede 42. Quanto
mede o ngulo indicado com verde?

 _`[{na figura a seguir s foram representadas as semirretas 
do desenho do esquadro. O ngulo
<P>
  :a corresponde ao 
indicado em vermelho e o :b, ao verde_`]

<F->
           
          
         
  :a    :b
:::::::o:::::::
       {a
<F+>

 18- Efetue em seu caderno:
 a) 2"22 30
 b) 5"25 12 15
 c) 15 204
 d) 15 10 244

 19- Calcule em seu caderno:
 a) #;c de 15 
 b) #:d de 90
 c) #;e de 48 30

 20- Em uma folha de papel, Pedro construiu
dois ngulos: um de 42 e outro de 28.
Em seguida, ele recortou esses ngulos
para us-los como moldes. Em outra folha,
usando somente os ngulos recortados,
sem auxlio do transferidor, ele construiu
outros ngulos com estas medidas: 56, 70, 126 e 14.
 Explique como Pedro fez para construir cada um desses ngulos.

 21- Com o auxlio do transferidor, construa em seu caderno 
quatro ngulos com as medidas: 45, 90, 63 e 104.
 Agora, usando somente rgua e compasso,
construa ngulos com as medidas:
 a) 27 
 b) 149 
 c) 108 
 d) 135
 e) 14
 f) 77

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<P>
6. Bissetriz de um ngulo

  Na figura a seguir, temos:
  m:?{a{o{c*=30 e m:?{c{o{b*=30
  Ento, :?{a{o{c*^=:?{c{o{b*.
  A semirreta :,?{o{c* divide o ngulo :?{a{o{b* em dois ngulos congruentes.
Nesse caso, dizemos que :,?{o{c*  bissetriz de :?{a{o{b*.
<R->

<F->
      
   {bo     {c
           oa 
       .,a
   .,a
 o:::::::::o::
 {o         {a
<F+>

  Bissetriz de um ngulo  a semirreta com origem no vrtice desse ngulo
e que o divide em dois outros ngulos congruentes.

<91>
<P>
Construo da bissetriz de um 
  ngulo

  Acompanhe a construo da bissetriz de um ngulo por dois mtodos: 
com dobradura e com rgua e compasso.
  Com dobradura
  Desenhamos um ngulo em uma folha de papel (Figura 1).

<F->
      
       
               
             
        
 j::::::::::::::
<F+>

  Recortamos a parte do papel em que est desenhado o ngulo e a dobramos ao meio,
conforme mostra a Figura 2. _`[{no adaptada_`]
  Desdobrando o papel, obtemos um vinco no interior do ngulo. Esse vinco representa
parte da bissetriz do ngulo (Figura 3). _`[{no adaptada_`]

  Com rgua e compasso
  Vamos considerar o ngulo :?{a{o{b*.
  Com a ponta-seca do compasso em O e o compasso em uma abertura qualquer, marcamos
sobre os lados do ngulo os pontos P e Q.
  Com a ponta-seca em P e depois em Q, traamos arcos de mesma abertura que se cortam
em D. A semirreta :,?{o{d*  bissetriz do ngulo :?{a{o{b*.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 22- Observe a figura a seguir. Sabendo que m:?{p{q{r*=
  =m:?{r{q{s*, o que a semirre-
<P>
  ta :,?{q{r*  em relao a :?{p{q{s*?

<F->
      
   {so     {r
      25 oa 
       .,a
   .,a
 o:::::::::o::
 {q         {p
<F+>

<92>
_`[{para as atividades 23 a 26, pea orientao ao professor_`]

 23- Construa a bissetriz de um ngulo agudo,
de um ngulo reto e de um ngulo obtuso.
 24- Com ajuda de um transferidor, construa
um ngulo de 115 e trace sua bissetriz com um compasso.

 25- Considere a figura _`[{no adaptada_`] e responda s
questes a seguir, sabendo que :,?{o{d*  bissetriz de
<P>
  :?{c{o{e* e :,?{o{b*  bissetriz de :?{a{o{c*.
 a) Se m:?{a{o{b*=20, quanto mede :?{a{o{c*?
 b) Se m:?{c{o{e*=70, quanto mede :?{c{o{d*?
 c) Se m:?{a{o{b*=24 e m:?{c{o{e*=82, quanto mede :?{a{o{d*?

 26- Desenhe em uma folha de papel a figura
a seguir e, em seguida, recorte-a.

<F->
     B             P
      ccccccccccccm
                 
                
               
   80       
 ------------
O            A
<F+>

Agora, siga as instrues:
  Dobre a figura de modo que o lado ^c?{o{a* se sobreponha ao lado ^c?{o{b*.
<P>
  Trace ^c?{o{c* sobre a marca da dobra feita no papel.
  Dobre a figura inicial de modo que ^c?{o{a* se sobreponha a ^c?{o{c*.
  Trace ^c?{o{d* sobre a marca da nova dobra.
  Calcule a medida dos ngulos :?{a{o{d*, :?{a{o{c* e :?{b{o{d*.

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

_`[{para as atividades 27 a 29, pea orientao ao professor_`]

 27- Observe os ngulos destacados nas fotos e classifique-os em reto, agudo ou obtuso.

_`[{duas fotos seguidas de legenda_`]
 Legenda {a: Museu Paulista, na cidade de So Paulo (SP). (Foto de 2004.) 
<P>
 Legenda {b: Museu Imperial, na cidade de Petrpolis (RJ). (Foto de 2005.)

 28- Usando rgua e compasso, construa em seu caderno um ngulo reto e, a partir dele, um
ngulo de 45 e um de 22 30.

<93>
 29- Resolva o problema em seu caderno.
A roda-gigante de um parque de diverses
tem dezoito cadeiras, igualmente espaadas,
e move-se no sentido anti-horrio, isto , no
sentido contrrio ao dos ponteiros do relgio.
 Nessa figura, _`[{no adaptada_`] as letras indicam as posies
das cadeiras. Ao ocupar uma das cadeiras, Leandro sentou-se
na posio indicada pela letra A.
 a) Em um primeiro momento, a roda-gigante moveu-se em meia-volta e parou
para que Juliana se sentasse. Nesse momento, qual era a nova posio de Leandro?
 b) A partir desse momento, a roda-gigante moveu-se em #+d de volta e parou novamente.
Qual era a nova posio de Leandro e Juliana?

 30- Uma das manobras de skate chama-se
900. Nessa manobra, o skatista d um
giro equivalente a quantas voltas?
 31- Acompanhe a descrio do caminho que
ngela percorreu:
  "Inicialmente, caminhei 10 m em linha
reta, depois girei 90  esquerda e avancei
10 m novamente. Em seguida, girei 90 
esquerda e avancei mais 20 m".
Quantos graus ngela dever girar para retornar
ao ponto de partida em linha reta?

               oooooooooooo

<P>
<94>
CAPTULO 4 -- Equaes

1. Um pouco de histria
<R->

  Os textos de Matemtica tradicionalmente incluem problemas para os
leitores resolverem. Os textos mais antigos, como os egpcios, os babilnicos,
os indianos, os rabes e os chineses, eram compostos de uma lista
de problemas cujas solues eram fornecidas em momento posterior.
  Os problemas tinham funo didtica, como forma de ensinar a Matemtica,
sendo muitas vezes colocados por grau de dificuldade; por outro
lado, esses problemas tambm refletem as necessidades das sociedades
e os diferentes aspectos da vida cotidiana.
<95>
  A seguir, destacamos dois desses problemas.
  O primeiro  um dos problemas presentes no papiro de Rhind, e o segundo encontra-se no
manuscrito Lilavati.

  "A quantidade e a sua [quarta parte] adicionadas do 15. Qual  a quantidade?"

  "... o colar do pescoo da esposa partiu-se. Um tero das prolas caram no cho, um quinto
foram para debaixo da cama. A esposa apanhou um sexto, e seu amado, um dcimo. Seis
prolas ficaram no fio original. Descubra o nmero total de prolas no colar."

<R+>
Elaborado com dados obtidos em: ~,http:www.malhatlantica.pt
  mathisindex.html~, acesso em: 17 nov. 2008.
<R->

  Voc saberia como resolver esses problemas?
  Por meio de tentativas,  possvel resolv-los. Pode no ser uma tarefa 
fcil, mas vale a pena tentar.
  Neste captulo, voc vai aprender novos recursos que podem faci-
<P>
 litar a resoluo de problemas como esses que foram apresentados.

<R+>
_`[{cinco ilustraes seguidas de legenda_`]
 Legenda 1: Tbua babilnica datada entre 1800 a.C. e 1600 a.C.
Nessa tbua h 25 problemas matemticos.
 Legenda 2: Papiro de Rhind (cerca de 1650 a.C.). Esse papiro
est escrito em hiertico (que se l da direita para a esquerda) e
tem 32 cm de largura por 513 cm de comprimento. Ele contm uma
coleo de 85 problemas. O papiro tem o nome do escocs Alexander
Henry Rhind que o comprou, por volta de 1850, em Luxor, no Egito.
 tambm designado por papiro de Ahmes, o escriba egpcio que o copiou.
 Legenda 3: Pgina do livro 
  *Hisab al-jabr w'al-muqabala*, um tratado de
lgebra escrito pelo matemtico al-Khowarizmi por volta de 825 d.C.
 Legenda 4: Pgina do *Zhou bi suan jing* ou *Chou pei suan ching* (100 a.C. e 100 d.C.), 
considerado o texto mais antigo da matemtica chinesa. Esta foto corresponde a 
uma edio de 1213, do acervo da Biblioteca de Xangai. O texto no  apresentado
por meio de problemas e respostas, mas, como os livros chineses posteriores, em forma de dilogo.
 Legenda 5: Fragmento do manuscrito Lilavati (A bela), escrito em 1150 pelo matemtico indiano
Bhaskara. Lilavati  uma das quatro partes de siddhanta siromani e contm 278 versos 
que tratam de vrios assuntos.

<96>
2. Expresses algbricas
<R->

  Muitas vezes voc teve a oportunidade de trabalhar com expresses matemticas.
  Veja algumas expresses escritas na linguagem comum e na linguagem simblica da Matemtica:
<R+>
 a) dois vezes cinco :> 2'5
 b) trs vezes quatro mais um :> 3'4+1
 c) o quadrado de dois stimos somado com dois quintos :> #;g2+#;e
<R->
  Em algumas situaes, quando queremos falar de um nmero racional qualquer, podemos
usar uma letra para represent-lo.
  Veja alguns exemplos:
<R+>
 a) o dobro de um nmero :> 2'x
 b) o triplo de um nmero mais quatro :> 3'x+4
 c) a metade de um nmero menos um tero :> x2-13 
 d) um nmero mais os seus trs quintos :> x+#:e'x
 e) a soma de dois nmeros inteiros consecutivos :> x+x+1
<R->
  Em todos esses exemplos, a letra x pode ser qualquer nmero racional. Dizemos ento que x
 uma varivel. Conforme o valor que x assume, h um valor para a expresso matemtica.
  As expresses 2'x, 3'x+4, x2-13, x+#:e'x e x+x+1 so exemplos de expresses
algbricas. Em uma expresso desse tipo, a varivel no precisa ser obrigatoriamente a letra x;
ela pode ser representada por qualquer outra letra. Veja alguns exemplos:
<R+>
  O dobro de um nmero pode ser representado por 2'y ou 2y (sem o sinal de multiplicao).
  O triplo de um nmero menos dez pode ser representado por 3z-10.
  O quadrado da metade de um nmero menos um tero dele pode ser representado por t22-13't
  A soma de um nmero com o dobro de outro nmero pode ser representada por a+2b.

EXERCCIOS PROPOSTOS

 1- Escolha uma letra para representar um nmero e traduza, em seu caderno, para
a linguagem simblica da Matemtica cada expresso relativa a esse nmero.
 a) O triplo desse nmero mais dez.
 b) Esse nmero menos quatro.
 c) O qudruplo desse nmero.
 d) A tera parte desse nmero.
 e) Trs quartos desse nmero.

 2- Leia e responda  questo em seu caderno. Faltam apenas dois apartamentos para
que o edifcio vizinho tenha o dobro do nmero de apartamentos do edifcio em
que eu moro. Se indicssemos por y o nmero de apartamentos do edifcio em que
moro, como poderamos representar o nmero de apartamentos do edifcio vizinho?

<97>
 3- Sendo *a* e *b* dois nmeros racionais, represente, em seu
<P>
  caderno, na linguagem simblica da Matemtica:
 a) a soma desses nmeros;
 b) a diferena entre esses nmeros;
 c) o dobro de *a* menos o triplo de *b*;
 d) o produto desses nmeros.

 4- Nas expresses a seguir, a letra x representa
um nmero. Identifique cada expresso
escrita na linguagem comum com a
expresso algbrica correspondente, escrevendo
em seu caderno o nmero romano
e a letra que esto associados a elas.
 I. o dobro do quadrado de x;
 II. o quadrado do dobro de x;
 III. a diferena entre o dobro de x e 3;
 IV. o dobro da diferena entre x e 3;
 V. a diviso da soma de x com 3 por 2;
 VI. a soma dos quadrados dos nmeros x e 3;
 VII. o quadrado da soma dos nmeros x e 3.
 a) 2x-3 
 b) x2+32 
 c) 2x2 
 d) x+32 
 e) 2x2
 f) ?x+3*2
 g) 2x-3

 5- Indique no caderno a expresso algbrica
que se obtm segundo este programa:
  considere um nmero racional x;
  dobre esse nmero;
  adicione cinco ao resultado obtido;
  multiplique por trs esse novo resultado.

 6- Nas figuras a seguir, as letras x, y e z representam
a medida de um segmento. Indique, em seu caderno, a expresso
algbrica correspondente  medida 
<P>
  do segmento ^c?{a{b* em cada caso.
<F->
a)
{a                              {b    
o::::::::::::::::::::::::::::::o

b)
{a                              {b
o::::w:::::w:::::::::::::::::::o
   y     y           5

c)
{a                        {b 
o::::::::::::::::::::::::o::::o
                             z
::::::::::::: 8 :::::::::::::::o
<F+>

Pense mais um pouco...
<R->

  Rena-se com um colega para resolver este problema no caderno.
Em uma brincadeira, Lucas falava um nmero e, segundo uma regra criada por Lia,
ela dizia outro nmero. O objetivo da brincadeira era fazer que Lucas descobrisse
a regra inventada por Lia. Veja a sequncia de nmeros que eles falaram:

<F->
!::::::::::::::
l Lucas _ Lia _
r::::::::w::::::w
l 1     _ 4   _
l 2     _ 5   _
l 3     _ 6   _
l 4     _ 7   _
l 5     _ 8   _
l 9     _ 12  _
l 15    _ 18  _
l 20    _ 23  _
h::::::::j::::::j
<F+>

<R+>
 a) Descubram a regra que Lia criou para falar os nmeros e escrevam essa regra
na forma de expresso algbrica.
 b) Se Lucas falasse o nmero 25, que nmero Lia diria? E se ele falasse -3?
 c) Que nmero Lucas deveria dizer para que Lia falasse o maior nmero possvel?
<P>
 d) Mais tarde, Lia passou a falar os nmeros, e Lucas, segundo uma nova regra,
dizia outro nmero. Veja a nova sequncia de nmeros que eles falaram:

<F->
!::::::::::::::
l Lia _ Lucas _
r::::::w::::::::w
l 1   _ 7     _
l 2   _ 9     _
l 3   _ 11    _
l 4   _ 13    _
l 5   _ 15    _
l 9   _ 23    _
l 15  _ 35    _
l 20  _ 45    _
h::::::j::::::::j
<F+>

 Descubram a regra de Lucas e a escrevam na forma de expresso algbrica.
 e) Se Lia falasse o nmero zero, que nmero Lucas diria? E que nmero ele deve
dizer de forma que ela fale o nmero 5?
<P>
 f) Que nmero Lia deveria dizer para que Lucas falasse o maior nmero possvel?

<98>
3. Valor numrico de uma 
  expresso algbrica
<R->

  Considere o retngulo em que x representa a medida da base e y a medida da altura.

<F->
!:::::::::::::::
l _-         _- _
l               _ y
l _-         _- _
h:::::::::::::::j
        x
<F+>

  Lembrando que permetro de um polgono  a soma das medidas de seus lados, ento o
permetro desse retngulo  dado pela expresso: x+x+y+y=2'x+2'y=2x+2y.
  Empregando a expresso 2x+2y para representar o permetro de um retngulo, vamos
calcular o permetro de um retngulo que tenha 
<P>
 50 cm como medida da base e 20 cm como medida da altura.
  Nesse caso, x=50 e y=20.
  Assim: 2x+2y=2'50+2'
 '20=100+40=140.
  O permetro desse retngulo  140 cm.
  O valor numrico de uma expresso algbrica  o nmero obtido quando trocamos as letras
por nmeros dados e efetuamos as operaes indicadas.
  No nosso caso, o nmero 140  o valor numrico da expresso 2x+2y para x=50 e y=20.
  Agora veja como calcular o valor numrico da expresso a2+2ab para a=-2 e b=#:e.
  Substituindo na expresso a letra *a* por -2 e a letra *b* por #:e, temos: a2+2ab=-22+
 +2'-2'#:e=4-#,;e=#"e.
  Logo, o valor numrico da expresso a2+2ab para a=-2 e b=#:e  #"e ou 1,6.
<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

7- Calcule, em seu caderno, o valor numrico das expresses:
 a) 3x+5 para x=-6
 b) 2a+7b para a=-3 e b=#,g
 c) a2+3a para a=-#,b
 d) a2-2ab+b2 para a=-5 e b=2

 8- Em um retngulo, a medida do comprimento  o triplo da medida
da largura. Use a letra x para representar a medida da largura.
Escreva em seu caderno a ex-
  presso que representa:
 a) o comprimento do retngulo;
 b) o permetro do retngulo;
 c) o valor numrico do permetro para x=3,5.

<99>
<P>
 9- Este quadrado est dividido em 8 partes iguais.
Determine a expresso que representa:

 _`[{figura: Quadrado de lado y, dividido em 8 partes 
iguais, sendo cinco delas pintadas de vermelho_`]

 a) a rea do quadrado;
 b) o permetro do quadrado;
 c) a rea da parte avermelhada;
 d) o valor numrico da rea do quadrado para y=2,1.

 10- Considerando este bloco retangular, 
determine a expresso algbrica que representa:

 _`[{figura: Bloco ratangular com as medidas: 
altura b, largura 6 e profundidade a_`]

 a) o permetro da face superior;
 b) a rea da face superior;
<P>
 c) a soma das medidas de todas as arestas;
 d) o volume do bloco retangular.

 11- Sabendo que um tringulo  equiltero, determine uma ex-
  presso algbrica que indique o permetro desse tringulo.

 12- Um fabricante de camisetas assume um
custo mensal fixo de R$10.000,00 para
o pagamento de funcionrios, impostos,
entre outras coisas, e um custo de R$2,50
para cada camiseta produzida. O custo mensal
para essa empresa pode ser dado pela expresso algbrica:
C=10.000+2,5x, em que C  o custo mensal, em reais, e x,
o nmero de camisetas produzidas.
 a) Determine o custo para a empresa no
ms em que eles fabricaram 1.000 camisetas.
 b) Se cada camiseta for vendida a R$20,00,
a empresa ter lucro? De quanto?

 13- Em certa cidade, a assinatura residencial
de uma linha telefnica custava R$39,90, o que inclua 
a cobrana dos 100 primeiros minutos utilizados. Se o consumidor
excedesse esses 100 minutos, ele pagaria R$0,08 por minuto excedente.
 a) Escreva no caderno uma expresso algbrica que represente a
situao em que o consumidor excede os 100 minutos.
 b) Quanto um consumidor pagar se usar 82 minutos em um ms?
E se usar 320 minutos?

4. Termos algbricos 
<R->

  Considere estas figuras:

_`[{trs figuras no adaptadas_`]

  Os lados da figura 1 foram divididos em segmentos de mesma medida. 
Considerando a medida desses segmentos igual a x, dizemos 
<P>
 que o permetro da figura  dado por 20x.
  A figura 2  formada por trs regies quadradas de lados de mesma medida. Considerando
a medida dos lados dessas regies iguais a y, escrevemos a rea da figura como 3y2.
  Como as medidas dos lados da figura 3 valem *a*, sua rea ser dada por a2, enquanto a rea
da regio azul  59a2.
  As expresses 20x, 3y2 e 59a2 so exemplos de termos algbricos.
<100>
  Em um termo algbrico, distinguimos o coeficiente (parte numrica) e a parte literal (parte
com letras). No quadro a seguir, mostramos alguns termos algbricos e destacamos em cada
um o coeficiente e a parte literal deles.
<P>
<F->
!::::::::::::::::::::::::::::::
l Termo   _ coeficiente_ Parte _
l algbrico_            _ literal_
r::::::::::w::::::::::::w::::::::w
l 5x      _ 5         _ x      _
l -m       _ -1        _ m      _
l -#:dxy_ -#:d       _ xy  _
l -ax6   _ -#,f       _ ax     _
h::::::::::j::::::::::::j::::::::j
<F+>

OBSERVAO

  Um nmero racional  considerado "termo algbrico sem parte literal".
  Assim, a expresso x2-5x+6 tem trs termos algbricos: x2, -5x e 6.
  O coeficiente de x2  1, o coeficiente de x  -5, e 6  o termo sem parte literal.
  Note que a soma de termos algbricos fornece uma expresso algbrica.
  Por exemplo: x2+-5x+6=x2-5x+6.

Termos semelhantes

  A medida do segmento da figura 1  representada por 3x.

Figura 1

<F->
o:::r:::w:::o  
   x   x   x
<F+>

  O permetro do pentgono da figura 2  representado por 5x.

Figura 2

<F->
            
 x   *   ?   x
   *       ?
 *           ?
            
x           x
   -------
       x
<F+>

  Os termos algbricos 3x e 5x tm a mesma parte literal; dizemos 
ento que eles so termos semelhantes.
  Veja outros exemplos:
<R+>
 a) -2ax e 8ax so termos semelhantes, porque possuem a mesma parte literal (ax).
 b) 5ax2 e 2a2x no so termos semelhantes, porque as partes literais so diferentes
ax2=a2x, apesar de as variveis *a* e x serem as mesmas.

Simplificao de expresses
  algbricas e reduo de termos 
  semelhantes
<R->

  O tringulo a seguir  equiltero, isto , todos os seus lados tm mesma
medida. Indicamos a medida de cada lado por *a*.

<F->
     
      
a        a
        
          
----------u
     a
<F+>

  Ento, o permetro desse tringulo  dado por: a+a+a.
<101>
  Como o tringulo  equiltero, podemos calcular seu permetro obtendo o 
triplo da medida do lado, ou seja, o permetro tambm  dado por: 3a'
  Assim,  possvel simplificar a expresso a+a+a escrevendo 3a'
  Veja outros exemplos de simplificao de expresses algbricas:
<R+>
 a) Simplificar a expresso algbrica 2'x+6+x.
<R->

  Para isso, vamos usar a pro-
 priedade distributiva da multiplicao:

2.`(x+6)+x=2.x+2.6+x=
  =2x+12+x=3x+12

<R+>
 b) Simplificar a expresso ?15x+9*3+x+4= 
<R->

  Separamos ?15x+9*3 em duas fraes.

<P>
<R+>
 15x3+#*c+x+4=
  =5x+3+x+4=
<R->

  Adicionamos os elementos semelhantes.

 =6x+7

  Na prtica, para reduzir termos semelhantes a um nico termo,
adicionamos algebricamente os coeficientes.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 14- Nesta figura, _`[{no adaptada_`] a rea de cada quadradinho
 representada por 25x2.
 a) Determine o termo algbrico que representa
a rea da figura toda.
<P>
 b) Indique o termo algbrico que representa
a rea da parte pintada de verde.
 c) Os dois termos obtidos so semelhantes?
Justifique sua resposta.
 d) Calcule o valor numrico de 25x2 para x=1,2.

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

 15- Em seu caderno, reduza os termos semelhantes.
 a) -4x+6y+10x-2y-x
 b) x+7x+10y-3x
 c) 2x-8y-6y-y-9x
 d) #:bx+#,dy-#,cx+2y

 16- Considere os polgonos a seguir e responda
s questes em seu caderno.
<P>
<F->
                3x               
     ccccccccccccccccccccccc
                            _
x                           _
                            _
                            _
^,.                          _ 2x
    a,.                      _
        a,.                  _
            a,.              _
        4x     a,.          _
                    a,.      _
                        a,.  _
                            aw

     
      
z        z
        
          
----------u
     w
<F+>

 a) Determine a expresso algbrica que representa o permetro de cada polgono.
<P>
 b) Se x=3,2 cm, qual  o permetro do quadriltero?
 c) Se z=6 cm e w=5 cm, qual  o permetro do tringulo?

<102>
 17- Simplifique as expresses algbricas em seu caderno:
 a) 4x-1+3x+1
 b) -22x-4+5-2x-10
 c) #;ex-0,2-#,b3x-#be

 18- No 1 semestre de 2010, os negcios de
Alex tiveram o seguinte resultado: o lucro
de fevereiro foi o dobro do de janeiro; o de
maro foi igual ao de janeiro; o de abril,
igual ao de fevereiro; o de maio, o triplo do
de janeiro; e o de junho, igual s quantias
de janeiro e fevereiro juntas. Chamando de
p o lucro do ms de janeiro:
 a) Qual  a expresso algbrica que indica o lucro de cada ms?
 b) Qual  a expresso algbrica que indica o lucro de todo o semestre?

5. Sentenas matemticas
<R->

  Sentena  um conjunto de palavras com sentido completo. Algumas sentenas so consideradas
ditados populares, por exemplo:
<R+>
 a) De poeta e de louco, todo mundo tem um pouco.
 b) Mais difcil que encontrar uma agulha no palheiro  encontrar duas.
 c) Quem no tem co caa como gato.
<R->
  Quando uma sentena envolve nmeros, ela  chamada de sentena matemtica.
  Veja alguns exemplos:
<R+>
 a) Cinco mais trs  igual a oito. 
 b) Dois  menor que vinte. 
 c) Sete  diferente de nove.
 d) Doze  o dobro de seis.
<R->
   As sentenas matemticas podem ser escritas na mesma forma como as vistas anteriormente
ou, na linguagem simblica da Matemtica, como estas:
 a) 5+3=8 
 b) 220
 c) 7=9
 d) 12=2'6
  Alm disso, as sentenas matemticas podem ser classificadas como verdadeiras ou falsas.
Verificamos facilmente que as sentenas 5+7=12 e #:d'#c=1 so verdadeiras, enquanto
as sentenas 4+52 e 7-2=4 so falsas.

<103>
6. As equaes

  Observe esta balana de dois pratos:

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato 1 h dois potes de mel e
um peso de 50 g e no prato 2, um pote de mel e um peso de 200 g_`]
<R->

  Ela est em equilbrio, ou seja, o total da massa dos objetos colocados no prato 1  igual ao
total da massa dos objetos colocados no prato 2.
  Representando por x a massa, em grama, de cada pote de mel, podemos escrever:
x+x+50=x+200.
  Essa sentena matemtica  expressa por uma igualdade e apresenta elemento desconhecido.
Ela  um exemplo de equao.

  Equao  toda sentena matemtica expressa por uma igualdade
que apresenta letras representando nmeros.

  Veja outros exemplos de equao:
 7x+5=4 
 2y2-3y+7=0
 2x+3y=8
  A expresso  esquerda do sinal de igual chama-se primeiro membro da equao, e a expresso
 direita do sinal de igual, segundo membro da equao.
  Veja mais exemplos de equao:
 2y-4=6 
 2z2+4=z-6 
 a+1=b
  Em uma equao, os elementos desconhecidos (letras que representam nmeros) 
so chamados de incgnitas.
  Na equao 2y-4=6, a incgnita  y; na equao 2z2+4=z-6, a incgnita  z; na equao
a+1=b, as incgnitas so *a* e *b*.
  Nem toda igualdade  uma equao. Por exemplo, 3+5=8 no  uma equao porque no
tem elemento desconhecido.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 19- Entre as sentenas a seguir, copie em seu caderno somente as equaes.
 a) 3x-9=x+6 
 b) 2y-9=21 
 c) 5+7=12 
 d) 3x-18
 e) 92-72=32
 f) 9y2-7y=0

<104>
 20- Escreva em seu caderno a equao que
tem por primeiro membro a expresso
x2-2x e por segundo membro, 3x-6.
 21- Na equao 4y2-5y+3=0, identifique,
no caderno, o primeiro e o segundo membro.
Se voc trocar de lugar os membros dessa equao,
ela tem seu significado alterado? Justifique sua resposta.
 22- Indicando a massa, em grama, de cada
cubo por x, determine no caderno a equao
sugerida pela balana.

 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h cinco
cubos e no da direita, dois pesos: um de 500 g e outro de 100 g_`]

Raiz de uma equao
<R->

  Consideremos esta balana:

<R+>
 _`[{figura: Balana em equil-
  brio_`]
<R->

  No prato da esquerda, temos 3 laranjas e um peso de 50 g. No prato da direita, temos 2 laranjas
e um peso de 200 g.
  Considerando cada laranja com x gramas, podemos representar essa situao pela equao
3x+50=2x+200.
  O valor de x que torna a igualdade verdadeira  150, pois, ao substituirmos x por 150 na
equao, obtemos:
<R+>
 3x+50=2x+200
 3'150+50=2'150+200
 450+50=300+200
 500=500 (verdadeira)
<R->
  Como x representa a massa, em grama, de cada laranja, conclumos que cada laranja tem
150 gramas.
  O valor 150  chamado de raiz da equao 3x+50=2x+200.

  Um nmero  denominado raiz de uma equao quando, ao substituir
a incgnita por ele, obtemos uma sentena verdadeira.

<P>
  Esse procedimento de substituio da incgnita (letra) por um nmero serve para verificar
se esse nmero  ou no raiz da equao.
<105>
  Veja estes outros exemplos:
<R+>
 a) Para verificar se o nmero 5  raiz da equao x+2=7, substitumos x por 5. Assim temos:
  5+2=7
  7=7 (verdadeira)
  Logo, 5  a raiz da equao x+2=7.
 b) Para verificar se o nmero -3  raiz da equao 2y+15=9, substitumos y por -3. Assim temos:
  2'-3+15=9
  -6+15=9
  9=9 (verdadeira)
  Logo, -3  a raiz da equao 2y+15=9.
 c) Para verificar se o nmero 4  raiz da equao 3z+2=5, substitumos z por 4. Assim temos:
  3'4+2=5
  12+2=5
  14=5 (falsa)
  Logo, 4 no  a raiz da equao 3z+2=5.

Conjunto universo e soluo de
  uma equao
<R->

  Em uma equao, devemos saber quais so os valores que a incgnita 
pode assumir e quais so os valores que a tornam verdadeira.
  Considere, como exemplo, esta sentena:
  "Um nmero natural par elevado ao quadrado e somado com 5 d 21".
  Escrevendo essa sentena na linguagem matemtica, temos a equao: x2+5=21.
  Como x representa um nmero natural par, x pode assumir qualquer valor do conjunto
~l0, 2, 4, 6, _,. Esse conjunto pode ser chamado de conjunto universo da equao dada.

  Conjunto universo  aquele formado por todos os valores que a incgnita pode assumir.

  O conjunto universo  representado pela letra _u.
  Vamos verificar que os nmeros -4 e 4 tornam a equao x2+5=21 verdadeira.
<R+>
  Para x=-4, temos:
  -42+5=21
  16+5=21 (verdadeira)
  Para x=4, temos:
  42+5=21
  16+5=21 (verdadeira)
<R->
  Portanto, os nmeros -4 e 4 so as razes da equao. Note que -4 no  um nmero natural;
portanto, ele no est no conjunto universo ~l0, 2, 4, 6, _,. Logo, ele no  soluo da equao.
<106>
  Ento, a soluo da equao x2+5=21 no conjunto universo dado (nmeros naturais pares)  4.
<P>
  Vamos ampliar o conjunto universo da sentena anterior considerando que o nmero 
inteiro e par:
  "Um nmero inteiro par elevado ao quadrado e somado com 5 d 21".
  A equao correspondente  x2+5=21 e o conjunto universo 
_u=~l, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, _,.
  Sabemos que as razes dessa equao so -4 e 4. Como ambas pertencem ao conjunto
universo, a soluo  -4 e 4.
  Veja esta outra sentena:
  "Um nmero natural mpar elevado ao quadrado e somado com 5 d 21".
  A equao correspondente  x2+5=21 e o conjunto universo  _u=~l1, 3, 5, 7, _,. As razes
dessa equao so -4 e 4. Como nenhuma delas est no conjunto universo (nmeros naturais
mpares), dizemos que essa equao no tem soluo no conjunto universo dado.
  Solues de uma equao so os valores do conjunto universo que tornam a sentena verdadeira.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 23- O nmero 2  raiz da equao 4x-21=x+5?
Justifique sua resposta no caderno.
 24- Em um dos cartes a seguir est impresso
o nmero que  a raiz da equao 4y+8=y+17.
Escreva no caderno que nmero  esse.

<F->
!:::::  !:::::  !:::::
l -5 _  l  3 _  l  5 _
h:::::j  h:::::j  h:::::j
<F+>

 25- Verifique, em seu caderno, se 2  raiz das equaes:
 a) x2=4
 b) -2x=4 
 c) 2x=4
 d) x-2=4
<P>
 26- Descubra qual  a raiz de cada equao.
Escreva a resposta em seu caderno.
 a) 4y-5=1 
 b) 3x+#,b=2 
 c) ?x+5*3=?x-2*10
 d) 6y+2=3y-3

 27- Determine, em seu caderno, o conjunto universo e a soluo da 
equao correspondente a cada sentena:
 a) y  um nmero natural par que, dividido por 2, d 3.
 b) *a*  um nmero inteiro cujo mdulo  3.
 c) x  um nmero natural que, dividido por -2, d 3.

7. Equaes do 1 grau com uma incgnita
<R->

  Considere estas equaes como exemplos:
 2x+7=5 
 3x+2=x-3
 5x2-8x+7=0 
 x+y=0
  As duas primeiras equaes tm uma s incgnita (a letra x) com expoente 1. Elas so exemplos
de equaes do 1 grau com uma incgnita.
  As duas ltimas no so equaes do 1 grau com uma incgnita.
  Neste captulo, estudaremos apenas as equaes do 1 grau com uma incgnita.

<107>
Equaes equivalentes

  Considere esta situao:
  A balana a seguir est em equilbrio. No prato
da esquerda, temos 3 pacotes, cada um com x quilogramas,
e 2 pesos de 1 kg. No prato da direita, temos 8 pesos de 1 kg.

<R+>
_`[{figura de uma balana em equilbrio_`]
<R->

  Podemos representar essa situao pela equao 3x+2=8.
  Retirando-se dois pesos de 1 kg de cada prato, a 
balana continua em equilbrio.
  A situao passa a ser esta:

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h trs
pacotes com x quilogramas e no da direita, seis pesos de 1 kg_`]
<R->

  Note que o que foi feito corresponde a subtrair 2
de cada membro da equao 3x+2=8.
 3x+2=8
 3x+2-2=8-2
 3x=6
  Deixando em cada prato a tera parte do
que ele contm, a balana continua em equilbrio.
Passamos a ter a seguinte situao:

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h
um pacote com x quilogramas e no da direita, dois pesos de 1 kg_`]
<R->
<P>
  Agora, o que foi feito corresponde a dividir por 3 os
dois membros da equao 3x=6.
 3x=6
 x3=63
 x=2

  Verificamos que o nmero 2  soluo das equaes 3x+2=8, 3x=6 e x=2.
 3x+2=8
 3'2+2=8
 6+2=8 (verdadeira)

 3x=6
 3'2=6 (verdadeira)

 x=2
 2=2 (verdadeira)

  Como 2  soluo das trs equaes, dizemos que elas so equaes equivalentes. Delas,
a mais simples  a equao x=2.

  Duas ou mais equaes do 1 grau que tm mesma soluo, em um
<P>
 mesmo conjunto universo, so chamadas de equaes equivalentes.

<108>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 28- Verifique, em cada caso, se as equaes
so equivalentes ou no.
 a) x-8=6 e x=14
 b) 2y-1=y, 3y=-6 e y+2=5
 c) 4z+1=z+7, 3z=6 e z=2
 d) 2a+a=12, 2a=6 e a=3

 29- Que equao se obtm quando multiplicamos
os dois membros de 3x=8 por 5?

 30- Observe as balanas 1 e 2 e responda em seu caderno:

 _`[{figura de duas balanas em equilbrio_`]
 Balana 1: No prato da esquerda h trs pacotes de peso x e dois pesos com o nmero 3;
no prato da direita, dois pacotes de peso
<P>
  x e quatro pesos com o nmero 3.
 Balana 2: No prato da esquerda h dois pacotes de peso x e dois pesos com o nmero 3;
no da direita, um pacote de peso x e quatro pesos com o nmero 3.

 a) O valor de x  o mesmo nas duas balanas? Justifique sua resposta.
 b) Encontre, para cada balana, a equao que a representa. Essas equaes so equivalentes?

8. Resoluo de equaes
<R->

  No exemplo a seguir, vamos descobrir a massa do cubo indicada pela letra x.

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h dois cubos de peso x 
e um peso de 10 g; no da direita, um cubo de peso x e dois pesos: um de 8 g e outro de 10 g_`]
<R->

  A balana est em equilbrio. A equao correspondente : 2x+10=x+8+10.
  Vamos retirar um cubo de x gramas de cada prato.

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h um cubo de peso x e um peso de 10 g;
no da direita, dois pesos: um de 8 g e outro de 10 g_`]
<R->

  A balana continua em equil-
 brio. A equao correspondente : x+10=8+10.
  Agora, vamos retirar um peso de 10 g de cada prato.

<R+>
 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h um cubo de peso x e no da direita um peso de 8 g_`]
<R->

  Nessa situao, a balana continua em equilbrio. A equao correspondente : x=8.
  As equaes obtidas em cada passo so equivalentes. Assim, a massa de cada cubo  igual a 8 gramas.
  A resoluo de equaes do 1 grau com uma incgnita  feita transformando-se cada equao
em uma equao equivalente e mais simples, at que as solues sejam obtidas.
  Na resoluo de equaes, aplicaremos as propriedades que veremos a seguir.

  Somando ou subtraindo um mesmo nmero aos dois membros de uma equao,
obtemos uma equao equivalente  primeira.

  Como exemplo, vamos resolver a equao 2x-1=x+5.
<R+>
 2x-1=x+5
<R->

  Somando 1 aos dois membros

<R+>
 2x-1+1=x+5+1  
<R->
<P>
  Reduzindo os termos semelhantes

<R+>
 2x=x+6
<R->

  Subtraindo x dos dois membros

<R+>
 2x-x=x+6-x
<R->

  Reduzindo os termos semelhantes

 x=6 

  Portanto, a soluo da equao  6.

  Multiplicando ou dividindo os dois membros de uma equao por
um nmero diferente de zero, obtemos uma equao equivalente  equao dada.

  Como exemplo, vamos resolver a equao 5x=20 utilizando a propriedade anterior.
<R+>
 5x=20
 5x5=205
<R->

<P>
  Dividindo os dois membros por 5

 x=4 

  Verificando: 5'4=20 (verdadeira)
  Portanto, a soluo da equao  4.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 31- O esquema a seguir mostra uma balana em equilbrio.

 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h 4 cubos 
de peso x e um peso de 5 g; no prato da direita, trs cubos de peso x e trs pesos de 5 g_`]

 a) Determine a equao que a balana anterior est representando.
 b) Determine a equao que a balana
representa quando se reti-
<P>
  ram de cada prato 3 cubos com a letra x e 1 peso 5 g.
 c) Qual  a massa de cada cubo?

 32- Resolva as equaes em seu caderno aplicando
as propriedades estudadas.
 a) x+5=12
 b) y+9=3
 c) x-12=15
 d) y+5=-4
 e) 2x=8
 f) 3x=-12
 g) 3x=10
 h) 5x=90

 33- Se considerarmos como conjunto universo,
das equaes da atividade anterior, o conjunto 
dos nmeros inteiros, todas as equaes tero
solues? E se considerarmos como conjunto universo
o conjunto dos nmeros naturais? Justifique suas respostas.
<P>
 34- Encontre a soluo para a equao e escreva a resposta no caderno.
A soluo racional da equao 3x-7+2x-1=2x-3  um nmero compreendido entre:
 a) -6 e -3 
 b) -3 e 0 
 c) 0 e 3
 d) 3 e 6
 e) 6 e 9

 35- Resolva a equao e escreva a resposta em seu caderno. 
A raiz da equao 2x+1+5x-3=
  =3x+1+x  um nmero:
 a) menor que -2.
 b) maior que 30.
 c) inteiro.
 d) racional no inteiro.
 e) negativo.

 36- Com as 10 caixas que tenho, fiz duas pilhas
de mesma altura, conforme mostra o
desenho. _`[{no adaptado_`]
Observe que, em algumas caixas, coloquei
um adesivo com um nmero que representa
sua altura em centmetros. As que esto
sem adesivo tm a mesma altura.
 a) Calcule a altura das caixas sem adesivo.
 b) Qual  a altura de cada pilha de caixas?

<F->
==================================
  pea orientao ao professor  y
gggggggggggggggggggggggggggggggggg
<F+>

<110>
Pense mais um pouco...
<R->

  Em seu caderno, determine o valor de x no quadrado
mgico a seguir, sabendo que a soma em cada linha,
em cada coluna e nas diagonais  a mesma.

<F->
!::::::::::::::::::
l 16  _ x+4 _ x+9 _
r::::::w::::::w::::::w
l 11  _ x+8 _ 15  _
r::::::w::::::w::::::w
l x+7 _ 17  _ 10  _
h::::::j::::::j::::::j
<F+>

<111>
Equacionando problemas

  O professor Paulo apresentou a seus alunos este problema:

  "Em um estacionamento, cobram-
 -se R$7,00 pela primeira hora e 
R$1,50 a cada hora excedente. Se um cliente pagou R$16,00, 
quanto tempo seu carro permaneceu nesse estacionamento?"  

  A aluna Lcia resolveu o problema da seguinte maneira:

  "Dos 16 reais eu subtraio os 7 reais da primeira hora:
16-7=9.
  Sobraram 9 reais.
  Divido, ento, 9 por 1,5 e encontro a quantidade de horas excedente.
9015=6.
  Somando a quantidade de horas encontradas com a primeira hora,
o cliente deixou o carro por 7 horas no estacionamento."
<P>
  O aluno Pedro resolveu o problema por tentativas:

  "Tentando 4 horas 7+1,5'3=11,5 ( pouco)
  Tentando 8 horas 7+1,5'7=17,5 ( muito)
  Tentando 7 horas 7+1,5'6=16 (deu certo)
  Logo, o carro permaneceu 7 horas no estacionamento."

<112> 
  O aluno Jair apresentou o seguinte raciocnio:

  "Indicando por x a quantidade de horas excedentes, temos:
 7+1,5x=16
 7+1,5x-7=16-7
 1,5x=9
 1,5x1,5=91,5
 x=6
  Somando com a primeira hora, o total de horas que o
carro permaneceu no estacionamento foi 7 horas."

<P>
  Note que os trs alunos do professor Paulo resolveram corretamente o problema, empregando
diferentes maneiras.
  Com isso, voc percebe que existem vrios mtodos para resolver um problema. O mtodo 
da resoluo por meio de equao, empregado por Jair,  um deles. Esse mtodo, em
muitos casos, facilita a resoluo de problemas.
  Veja mais alguns exemplos.

Exemplo 1

  Cinco caixas de creme dental e dois sabonetes custam R$14,50.
  Uma caixa de creme dental custa R$0,38 a mais que um sabonete.
Qual  o preo de uma caixa de creme dental?
  Preo do sabonete: x
  Preo da caixa de creme dental: x+0,38
  Equao correspondente: 5x+0,38+2x=14,50
<P>
  Resolvendo a equao, temos:
 5x+1,90+2x=14,50
 5x+1,90+2x-1,90=14,50-1,90
 5x+2x=14,50-1,90
 7x=12,60
 7x7=12,607
 x=1,80 (preo do sabonete)
 x+0,38=1,80+0,38=2,18 (preo da caixa de creme dental)
  Verificando:
 5'2,18+2'1,80=10,90+3,60=
  =14,50
  Logo, uma caixa de creme dental custa R$2,18.

<113>
Exemplo 2

  As telas que voc v so assinadas por Elza Bernardes. Eu as comprei por R$1.320,00.
  Pela tela A paguei o dobro do que paguei pela tela B e, pela tela C, paguei o triplo do que
paguei pela B. Quanto paguei pela tela C?
<P>
<R+>
 _`[{trs telas_`]
 Legenda 1: *Frutas  mesa*, 77 cm{"54 cm, 1999 -- Tela A.
 Legenda 2: *Vila de pescadores*, 72 cm{"59 cm, 1987 -- Tela B.
 Legenda 3: *Choupana no Tiet*, 60 cm{"50 cm, 1990 -- Tela C. 
<R->

  Indicando o valor da tela B por x, a tela A custou 2x, e a tela C, 3x.
  Ento, x+2x+3x=1.320.
  Resolvendo a equao, temos:
 x+2x+3x=1.320
 6x=1.320
 6x6=1.3206
 x=220
  O valor da tela C  3x, logo: 3x=3'220=660.
  Logo, paguei R$660,00 pela tela C.

<P>
<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 37- Maria tem o dobro da idade de Lcia. Se
Maria tivesse 8 anos a menos e Lcia 4 anos
a mais, elas teriam a mesma idade.
 a) Representando a idade de Lcia por y,
como se representa a idade de Maria?
 b) Determine a equao correspondente ao problema.
 c) Qual  a idade de Lcia?
 d) Qual  a idade de Maria?

 38- Uma mesa plstica custa o triplo de uma
cadeira plstica. Duas dessas mesas e oito
dessas cadeiras custam R$226,80.
 a) Qual  o preo de uma cadeira?
 b) Qual  o preo de uma mesa?
 c) Quanto custam 5 mesas e 20 cadeiras?

 39- Gabriel, Giovana e Guilherme so irmos.
Hoje, a idade de Giovana  o triplo da idade
de Gabriel, e a idade de Guilherme  o quntuplo
da idade de Gabriel. Qual  a idade 
de cada irmo se, juntos, eles tm 27 anos?
<114>
 40- Uma batedeira e um liquidificador custam,
juntos, 151 reais. A batedeira custa 21 reais
a mais que o liquidificador. Qual  o preo
da batedeira? Responda em seu caderno.
 41- Sabendo que hoje a soma da idade de Guilherme
e de Laura  70 meses, h quantos
meses a foto a seguir foi tirada?

_`[{foto de duas crianas_`]
 Legenda: Guilherme com 18 meses e Laura com 20 meses.

 42- Em um jogo de basquete, foram assinalados
118 pontos. A equipe vencedora ganhou
por uma diferena de 12 pontos. Quantos
pontos marcou a equipe vencedora?
 43- Quatro candidatos disputavam a prefeitura
de uma cidade. Aps a apurao dos 5.219 votos,
foram obtidos os resultados: o primeiro candidato 
conseguiu 22 votos a mais que o segundo, 130 a mais que o
terceiro e 273 votos a mais que o ltimo. Quantos votos 
recebeu o candidato eleito? Responda no caderno.
 44- Ricardo e Julinho subiram juntos em uma
balana, e o ponteiro da balana marcou 80 kg. 
Ricardo desceu, e Julinho pde ento verificar que 
ele tinha 6 kg a mais que Ricardo. Quantos quilogramas tem Julinho?
 45- Observe o esquema das balanas e responda  questo em seu caderno.

 _`[{figura: Duas balanas em equilbrio_`]
 Balana 1: No prato da esquerda h uma pera; no da direita, uma banana e um peso de 100 g.
 Balana 2: No prato da esquerda h uma pera e uma banana; no da direita, dois pesos de 200 g. 
<P> 
 De acordo com o que as balanas indicam, quantos gramas tem a pera?
 46- Na figura a seguir, est representada uma
estrada em que aparecem trs postos de
gasolina: A, B e C. A distncia entre A e
B  o triplo da distncia de B a C. Qual 
a distncia entre A e B?

 _`[{figura de uma estrada com trs postos de gasolina. Est
marcada a distncia entre os postos A e C: 72 quilmetros_`]

<115>
Pense mais um pouco...
<R->

  Paulo gosta de impressionar as pessoas fazendo adivinhaes. Descobre o nmero
pensado por uma pessoa. Observe a conversa entre ele e Fernando:

<R+>
 _`[{histria em oito quadrinhos. Paulo e Fernando conversam_`]
<R->

  Paulo diz para Fernando: "Pense em um nmero." O menino pensa no nmero 5.
  Paulo continua: "Dobre." Fernando pensa: "10." Paulo fala: "Some 10." 
  Fernando calcula mentalmente: "20." Paulo diz: "Multiplique por 4." 
  Fernando pensa: "80." Paulo fala: "Tire 40." Fernando pensa: "40." 
  Paulo diz: "Divida por 2." Ainda mentalmente Paulo calcula: "20." 
  Paulo pergunta: "Quanto deu?" Fernando responde: "20." 
  Paulo, ento fala: "Voc pensou no nmero 5." 
  Espantado, Fernando pergunta: "Como voc adivinhou?"

<R+>
 Rena-se com um colega para responder s questes.
 a) Descubram como Paulo fez para adivinhar o nmero que Fer-
<P>
  nando pensou. Justifiquem a resposta.
 b) Montem uma regra que possibilite adivinhar nmeros, brinquem com outras duplas
da classe e, em seguida, descubram as regras elaboradas pelas outras duplas.

Para saber mais

Mdia e estimativas
<R->

  Quando algumas empresas fornecedoras de energia eltrica no conseguem fazer a
leitura do consumo, de uma residncia por exemplo, elas estimam o valor da prxima conta
pela mdia do consumo dos ltimos trs meses.
<116>
  Vamos ver um exemplo. Considere parte da conta de energia eltrica da famlia Silva:
<P>
<F->
!:::::::::::::::::::::::
l Histrico de consumo _
r::::::::::::::::::::::w
l ms/ano   _ consumo  _
l abr/10   _ 192     _
l mar/10   _ 185     _
l fev/10   _ 178     _
l jan/10   _ 169     _
l dez/09   _ 186     _
l nov/09   _ 188     _
l out/09   _ 175     _
l set/09   _ 175     _
l ago/09   _ 145     _
l jul/09   _ 156     _
l jun/09   _ 150     _
l mai/09   _ 131     _
h::::::::::::j::::::::::j
<F+>

  Considerando os ltimos trs meses, temos:

<F->
!:::::::::::::::::::::::
l Ms       _ Consumo  _
r::::::::::::w:::::::::::w
l Abril     _ 192 kWh _
l Maro     _ 185 kWh _
l Fevereiro _ 178 kWh _
h::::::::::::j:::::::::::j
<F+>
  Caculando a mdia, temos: ?192+185+178*3=5553=185 
  Desse modo, a fornecedora estimou que o consumo do ms de maio
da famlia Silva foi de 185 kWh.

<R+>
 Agora  com voc!

 1. Considerando a conta da famlia Silva, responda s questes em seu caderno.
 a) Supondo que a fornecedora no tivesse feito a leitura no ms de fevereiro, estime
qual seria o valor cobrado para esse ms com base no consumo dos 3 meses anteriores.
 b) O valor que voc encontrou foi o mesmo que a famlia consumiu nesse ms? 
Se no, qual foi a diferena?
 c) Supondo que a fornecedora estime o valor cobrado para o ms com base na mdia
de consumo dos 12 meses anteriores, qual seria 
<P>
  a estimativa para o consumo de maio de 2010?
 d) Que motivos podem ser levantados para a fornecedora considerar os ltimos 3 meses,
e no os ltimos 12 meses, para fazer a estimativa de consumo de um ms?
Converse com os colegas sobre isso.

 2. Suponha que o funcionrio que faz a leitura do consumo de energia tenha passado na residncia
no dia 30 de abril e feito a leitura do consumo desse ms. Para o ms de maio, ele fez
a leitura antes de completar os 30 dias, passando no dia 23 de maio. Nesse caso, a fornecedora
tambm faz uma estimativa para calcular o consumo de um ms, ou seja, de 30 dias.
 Considere que a leitura feita nesse perodo tenha sido esta:
 Leitura feita no dia 30 de abril: 8.120 kWh
 Leitura feita no dia 23 de maio: 8.393 kWh
<P>
 Perodo entre uma leitura e outra: 23 dias
 Consumo entre os 23 dias: 8.393-8.120=273 kWh
 Nesse caso, a empresa calcula o consumo mdio de um dia e, com base nesse valor,
calcula o consumo de 30 dias.
 Com essas informaes, determine o consumo mdio do ms de maio.

<117>
As equaes e a propriedade 
  distributiva
<R->

  Considere a situao a seguir.
  Uma estrada tem um trecho asfaltado e outro de terra. Danilo e Diego resolveram percorrer
essa estrada de bicicleta.
  Danilo transps o trecho asfaltado, mais 6 km do trecho de terra e retornou ao ponto de partida.
  Diego percorreu o trecho asfaltado, mais 2 km de terra, voltou, refez o caminho anterior e,
ento, retornou ao ponto de partida.
<P>
  Quando fizeram as contas, descobriram que haviam percorrido a mesma distncia. Quantos
quilmetros tem o trecho asfaltado?
  Vamos esquematizar a situao indicando o comprimento do trecho asfaltado por x.
<R+>

<R->
<F->
r:::::r:::::::::::::::w
   x         6
<F+>

 2`(x+6)

<F->
r:::::r:::::w
   x     2
<F+>

 4`(x+2)

  Como o nmero de quilmetros percorridos  o mesmo, escrevemos a seguinte equao: 2x+6=4x+2.
  Vamos eliminar os parnteses aplicando a propriedade distributiva da multiplicao.
<P>
  Em seguida, continuamos a resoluo:
<R+>
 2x+6=4x+2
 2x+12=4x+8
 2x+12-4x-12=4x+8-4x-12
 2x-4x=8-12
 -2x=-4
 -2x-2=-4-2
 x=2
<R->
  Verificando:
  Danilo percorreu: 22+6=2'8=16
  Diego percorreu: 42+2=4'4=16 
distncias iguais 16 km
  Logo, o trecho asfaltado tem 2 quilmetros.
<118>
  Veja outro exemplo:
  Paula escreveu um nmero no caderno dela e fez o mesmo no caderno de Joana. Em seguida,
Paula somou 1 a esse nmero, multiplicou o resultado por 4 e somou 18. Joana somou
2, multiplicou o resultado por 5 e subtraiu 3. Paula e Joana obtiveram o mesmo 
<P>
 resultado. Qual foi o nmero escrito inicialmente por Paula?
  Representando o nmero escrito por x, temos:
<R+>
 Paula
 nmero x
 somou 1 :> x+1
 multiplicou por 4 :> 4x+1
 somou 18 :> 4x+1+18

 Joana
 nmero x
 somou 2 :> x+2
 multiplicou por 5 :> 5x+2
 subtraiu 3 :> 5x+2-3
<R->

  Como as duas obtiveram o mesmo resultado, temos a equao: 4x+1+18=5x+2-3.
  Eliminamos os parnteses, aplicando a propriedade distributiva da 
multiplicao, e continuamos a resoluo:
<R+>
 4x+4+18=5x+10-3
 4x+22=5x+7
 4x+22-5x-22=5x+7-5x-22
 4x-5x=7-22
<P>
 -x-1=-15-1
 x=15
  Logo, o nmero escrito foi 15.

EXERCCIOS PROPOSTOS

 47- Calcule, em seu caderno, o valor de x nas equaes.
 a) 4x+3=20
 b) 52x-1=2x+4
 c) 10-2x+3=8+32x+5
 d) x-2x-1=4-3x-2
 e) 2x-34-x=5+42x+1
 f) 6x-71-x-10x+4=0

 48- Um nmero  somado com 10. Multiplica-se essa soma por 3 e o resultado  72.
 a) Qual destas duas equaes n+10'3=72 ou n+10'3=72 traduz o problema?
 b) Que nmero  esse?

<P>
 49- Um terreno tem 100 m de permetro. O comprimento  o triplo da largura.
 a) Indicando a largura desse terreno por x, determine o comprimento dele.
 b) Determine o permetro desse terreno, usando a letra x.
 c) Escreva a equao associada ao problema.
 d) Qual  a largura do terreno? E qual  o comprimento?
 e) Calcule a rea do terreno.

 50- Dentro de um ano, Ana Maria ter o triplo
da idade que tinha h nove anos. Qual  a idade de Ana Maria hoje?

<119>
51- A uma festa compareceram 43 convidados. Se tivessem ido mais
dois jovens, eles seriam o qudruplo do nmero de adultos.
 a) Indicando o nmero de adultos por x, represente o nmero de jovens.
 b) Qual  a equao correspondente a essa situao?
 c) Quantos adultos compareceram a essa festa? E quantos jovens?

 Trabalhando equaes que contm fraes
<R->

  Neste momento, vamos resolver os problemas propostos no incio deste captulo. Vamos
comear com o problema presente no papiro de Rhind:

  A quantidade e a sua [quarta parte] adicionadas do 15. Qual  a quantidade?

  Considerando a quantidade que queremos encontrar como x, podemos escrever a equao:
x+#,dx=15.
  Multiplicando ambos os membros da equao por 4, temos:
 4x+#,dx=15'4
 4x+x=60
 5x=60
 5x5=605
 x=12
<P>
  Logo, a quantidade procurada  12.
  Agora vamos resolver o problema apresentado em Lilavati:

   o colar do pescoo da esposa partiu-se. Um tero das prolas caram no cho, um quinto
foram para debaixo da cama. A esposa apanhou um sexto, e seu amado, um dcimo. Seis
prolas ficaram no fio original. Descubra o nmero total de prolas no colar.

  Considerando a quantidade total de prolas do colar como x, temos:
<R+>
  Quantidade que caiu no cho: #,cx
  Quantidade que foi para debaixo da cama: #,ex
  Quantidade que a esposa apanhou: #,fx
  Quantidade que o amado apanhou: #,ajx
<R->
<120>
  A equao correspondente  situao descrita :
#,cx+#,ex+#,fx+#,ajx=x-6.
<P>
  Assim como na adio de fraes, procuramos fraes equivalentes de mesmo denominador
para fazer as operaes.
<R+>
 #,cjx+#+cjx+#?cjx+#:cjx=x-6
 30'#,cjx+#+cjx+#?cjx+#:cjx=
  =30'x-6
 10x+6x+5x+3x=30x-180
 24x=30x-180
 24x-30x=30x-180-30x
 -6x=-180
 -6x-6=-180-6
 x=30
<R->
  Logo, o nmero total de prolas no colar  30.

<R+>
EXERCCIOS PROPOSTOS

 52- Resolva as equaes em seu caderno.
 a) 3x5-12=x-25
 b) x2+34=2x6-13
 c) 3y2-1=34-2y
 d) 32bx-45=2x
<P>
 e) 34-y6=y8-13
 f) 2x+15-x10=12+85

 53- Um nmero menos 12  igual a #:d do
mesmo nmero. Qual  esse nmero?

EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 54- Maurcio economizou certa quantia no ms
de outubro. Em novembro, economizou 20
reais a menos que em outubro; em dezembro,
conseguiu economizar um tero do que
economizou em novembro, juntando assim
a quantia de 440 reais. Quanto Maurcio
economizou em cada ms?

 55- No polgono a seguir, a soma das medidas
dos lados ^c?{a{b* e ^c?{c{d*  igual  soma das me-
<P>
  didas dos lados ^c?{a{d* e ^c?{b{c*.

<F->
     D       C
      ccccccc
              
                
 A^~              
       ^~        
           ^~     
               ^~  
                   ^~
                      B
<F+>
 ^c?{a{b*=x-5
 ^c?{b{c*=x2
 ^c?{c{d*=x3
 ^c?{a{d*=x-10

Calcule em seu caderno:
 a) o valor de x;
 b) o permetro do polgono.

 56- Calcule o valor de y na equao ?5y-1*10-#,b=
  =1-?2-y*5 quando _u=_q.
 57- Determine o nmero inteiro mais prximo
da soluo da equao: ?12x-4*6-?8x-3*9=
  =x+?2x+5*3
 58- Determine o nmero decimal que corresponde
ao valor de m na equao: ?m+4*4+m2=
  =?m-5*3
<121>
 59- Sonhei que no Pantanal Mato-grossense
uma arara pousou em uma rvore e cumprimentou
os jaburus que l se encontravam:
<R->

  -- Bom dia a todos os 57 jaburus amigos
que se encontram nesta rvore.
  Os jaburus responderam em coro:
  -- Bom dia!
  Um jaburu comentou:
  -- Ns no somos tantos, dona Arara. Mas,
se a senhora somar a ns #,c de ns e mais
#,f de ns, a, sim, seremos 57.

<R+>
  Quantos jaburus havia na rvo-
 re?
 60- Hoje, em uma classe, o nmero de meninos
presentes  igual ao nmero de meninas
presentes. Isso aconteceu porque faltaram
5 meninas e 1 menino. Quantos alunos h
nessa classe se o nmero de meninas  #?i
do nmero de alunos da classe?
 61- O problema a seguir tambm est presente
na obra Lilavati, de Bhaskara.
<R->

  "Um tero, um quinto e um sexto de uma quantidade
de ltus foram oferecidos ao Lorde Sina, ao Lorde
Visnu, e ao Sol, um quarto a Parnati. Os seis ltus que
sobraram foram dados ao venervel preceptor.
  Diz depressa o nmero total de ltus."

<R+>
62- Observe esta figura:

 _`[{figura de uma garrafa, um copo e um garrafo de 4 L_`]

 Com 3 copos de gua, enche-se totalmente
a garrafa. Colocando-se no garrafo 4 garrafas
de gua e mais um copo de gua,
ainda assim falta 0,75 litro de gua para
ench-lo totalmente.
 a) Quantos litros de gua cabem nesse copo?
 b) Quantos litros de gua cabem nessa garrafa?

Pense mais um pouco...
<R->

  A partir do bloco de cima, cada nmero  a soma dos dois nmeros 
que esto nos blocos imediatamente a seguir.

<F->
          !:::::::::::
          l    ...    _
      !:::h::::::::::j:::
      l    3   _   ...   _
!:::::h::::::::j:::::::::w::::::
l ?x+2*2 _  ?x+1*3  _ -5x _
h:::::::::::j:::::::::::::j::::::j
<F+>

<R+>
 a) Descubra o valor de x.
 b) Escreva no seu caderno os nmeros que devem
ser colocados nos blocos com "...".
<R->

<122>
<P>
Para saber mais

A Matemtica na Histria

  O estudo de igualdades e de equaes
est diretamente associado ao desenvolvimento
da lgebra. A prpria origem dessa
palavra mostra o forte elo existente entre
esses dois conceitos. A palavra lgebra
deriva da palavra rabe *al-jabr*, presente no
ttulo do livro *Hisab al-jabr 
 w'al-muqabalah*, escrito em Bagd, por volta 
do ano 825 d.C., pelo matemtico rabe al-Khowarizmi.
  A traduo literal do ttulo desse livro 
"Cincia da restaurao ou reunio (al-jabr)
e reduo (al-muqabalah)", que pode ser entendido
matematicamente como a passagem
de termos subtrados para o outro membro
de uma equao (al-jabr) e o cancelamento de
termos semelhantes em membros 
<P>
 opostos da equao
 (al-muqabalah).
  Entretanto, o uso de equaes  muito
mais antigo, passando pelo matemtico grego
Diofanto, no sculo III d.C., e chegando at
1700 a.C. com os babilnios e os egpcios. A
evoluo do processo de resoluo de equaes
abrange um perodo que vai de 1700 a.C.
at 1700 d.C., caracterizando-se principalmente pelo uso de abre-
viaes e pela utilizao de vrios mtodos.
  Vamos tratar aqui de um mtodo utilizado
inicialmente pelos egpcios, conhecido mais
tarde na Europa como "regra da falsa posio",
cuja notao era verbal.
  Atualmente, como temos  disposio um
bom instrumental simblico, pode parecer
impossvel que o uso da palavra tenha dificultado
a resoluo de uma equao como
3x-18=0. Na soluo das equaes, os
egpcios recorriam ao mtodo da regra da
falsa posio, como foi o caso de muitos dos
problemas do papiro de Rhind. Tratava-se de
problemas de origem prtica lidando com
questes a respeito da consistncia do po e da
cerveja, sobre armazenamento de gros e sobre
o balanceamento de raes para gado e aves.
  A regra da falsa posio  um mtodo de
resoluo de equaes que atribui inicialmente
um valor  incgnita. Caso, ao se fazer
a verificao, as condies dadas no sejam
satisfeitas, altera-se a estimativa inicial 
multiplicando-a por um valor conveniente.
  Por exemplo, consideremos a equao x+x7=24. 
Uma equao desse tipo era apresentada com a seguinte notao verbal:
"Qual deve ser o valor de um nmero
que, quando sua stima parte  somada,
torna-se equivalente a 24?".
  Esse  um exemplo relativamente simples,
que permite, entretanto, imaginar o quanto
se torna complicado o enunciado na notao
verbal quando a equao  mais complexa.
  Para resolver essa equao, vamos atribuir
a x o valor 7. Ento: x+x7=7+77=8. 
  Observe que o resultado obtido difere de
24. Precisamos multiplicar 8 por 3 para obter o
resultado desejado (24). Assim, o valor procurado
de x ser o valor estimado inicialmente (7)
multiplicado por 3, ou seja, 217"3).
  Veja que 21 satisfaz a equao x+x7=24, pois:
21+217=21+3=24.
  A regra da falsa posio tornou-se conhecida
na Europa, na Idade Mdia, atravs dos
rabes; aparecendo nas obras de 
 al-Khowarizmi -- a mais antiga aritmtica rabe -- e de muitos outros.
  O matemtico italiano 
 Fibonacci (cerca de 1200) escreveu uma obra contendo somente
problemas algbricos resolvidos pelo "Mtodo
da falsa posio". Nos sculos XV e XVI,
esse mtodo aparece em diversos tratados
de matemticos europeus. A aritmtica do
matemtico alemo Johannes Widman 1462-1498, publicada em 1498, apresenta problemas
resolvidos por falsa posio nos quais so
utilizados pela primeira vez os smbolos *+* e *-*
para indicar excesso e falta.
  Na Inglaterra, o matemtico Robert Recorde
usa a regra da falsa posio em sua
aritmtica *The ground of arts*, escrita em 1542,
na qual aparece pela primeira vez o smbolo *=*
para a igualdade, diferindo da atual notao
apenas pelo fato de os travesses da
igualdade serem mais longos. Outros matemticos
europeus do sculo XVI aplicaram
a regra da falsa posio, que desapareceu
ao longo desse sculo, com a descoberta de
mtodos mais sofisticados para a resoluo
de equaes mais complexas.

<123>
<P>
Agora  com voc!

  Resolva pelo mtodo da falsa posio a equao: x+x13=63.

<R+>
EXERCCIOS COMPLEMENTARES

 63- De acordo com o cubo representado a seguir,
faa no caderno o que se pede.

_`[{figura de um cubo com aresta igual a x_`]
 a) Escreva a expresso algbrica que representa
a soma das medidas das arestas.
 b) Escreva a expresso algbrica que representa
a rea de cada face.
 c) Escreva a expresso algbrica que representa
a soma das reas das faces.
 d) Escreva a expresso algbrica que representa
o volume do cubo.
 e) Qual  o volume desse cubo se x=1,2 m?

<P>
 64- Fernanda disse para Jos:
<R->

  -- Pense em um nmero. J pensou?
Ento dobre, some 8, multiplique o
resultado por 5, some 60 e tire 100.
Quanto deu?
  Jos respondeu para Fernanda:
  -- Deu 10.

<R+>
 Descubra o nmero em que Jos pensou
e escreva a resposta no caderno.

 65- Resolva as equaes em seu caderno.
 a) 2x-7=8
 b) 5x-7=2x+2
 c) 4y-6=2y
 d) 6y+30=2y-2
 e) x+1=7x-2

 66- O esquema a seguir representa uma balana em equilbrio. 
<P>
  Calcule em seu caderno o valor de m.

 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h seis 
pacotes de peso m e um peso de 10 g; no prato da direita, 5 pacotes
de peso m e um peso de 50 g_`]

<124>
 67- Determine, em seu caderno, as razes das equaes:
 a) 7y-1=23y+1
 b) y+4y-1=9-2y+3
 c) 4y-2+32y-1=62y-3

 68- Entre as equaes a seguir, quais tm
como soluo x=5?
 a) 5x+4-2x=26-3x
 b) 3x-4=11
 c) x-x+1=12-3x-2
 d) 4x+9=3x+5

 69- Determine, em seu caderno, o valor de x de modo que a soma
<P>
  em cada lado do tringulo seja a mesma.

<F->
         !::::::
         l  4  _ 
         r::::::w
                
    !::j        !h:::
    l x _        l 5 _
    h:+:j        h:::j
                    
!:::j    !:::::    !h::::
l 7 _::::l 2x _::::l 3x _
h::::j    h:::::j    h:::::j 
<F+>

 70- Multiplicando as solues das duas equaes
a seguir, encontraremos um nmero inteiro. Que nmero  esse?
 2y3-12=y4-32
 3x=54

 71- Resolva as equaes em seu caderno.
 a) ?2-a*10+?a-5*8=-#,b
 b) ?x-2*4+13=x-?2x-1*3
 c) 1-?x-2*4=2-?x-3*3
 d) 3y2-?y-5*3=1+?2y-4*
  4

 72- Observe esta balana:

 _`[{figura: Balana em equilbrio. No prato da esquerda h 4 laranjas, duas mangas
e um peso de 200 g; no prato da direita, duas laranjas, uma manga e um peso de 1 kg_`]

 Sabendo que cada manga tem 300 g, calcule
quantos gramas tem uma laranja.
 73- Leonardo tinha de dividir um nmero por
3, mas se enganou e multiplicou-o por 3.
Com isso, encontrou 120 unidades a mais
do que deveria ter encontrado. Qual  o
nmero que Leonardo deveria dividir?
 74- Um terreno de 670 m2 foi repartido em dois
lotes, sendo que um deles tem 30 m2 a mais
que o outro. Qual  a rea de cada lote?
<P>
 75- Um retngulo tem 36 m de permetro. O
comprimento tem 2 m a mais que a largura.
Quais so as medidas desse retngulo?
 76- Um tringulo tem 72 cm de permetro.
As medidas de seus lados so expressas
por trs nmeros inteiros e consecutivos.
Calcule essas medidas.

 77- Resolva o problema em seu caderno.
(FCC-BA) Um grupo de amigos quer dividir
a despesa de uma lanchonete. Se cada
um pagar R$20,00, faltaro R$60,00; se
cada um der R$30,00, sobraro R$90,00.
O nmero de pessoas nesse grupo :
 a) 10
 b) 12
 c) 14
 d) 15
 e) 18
<P>
 78- Descubra, em seu caderno, quanto os
departamentos iro receber.
(Unifor-CE) Os departamentos A, B e C
de uma empresa devem receber 850
mil reais para investimentos. Por razes
estratgicas, A deve ficar com a mesma
quantia que os outros dois departamentos
juntos e B deve receber 50 mil reais a mais
que C. Nessas condies:
 a) C receber 175.000 reais.
 b) C receber 187.500 reais.
 c) B receber 225.000 reais.
 d) B receber 250.000 reais.
 e) A receber 420.000 reais.

 79- Resolva no caderno.
  (Unifor-CE) Jos ganhou um prmio no
valor de R$5.000,00 e dividiu-o entre seus
trs filhos da seguinte forma: Pedro recebeu
R$300,00 a menos que Joo, que, por sua
vez, recebeu R$100,00 a mais que Antnio.
<P>
   verdade que a quantia recebida por:
 a) Antnio foi R$1.800,00.
 b) Joo foi R$1.700,00.
 c) Antnio foi R$1.600,00.
 d) Joo foi R$1.600,00.
 e) Pedro foi R$1.500,00.

               xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxo

Fim da Terceira Parte

